Формула для обратной матрицы

Пусть $A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}$ - алгебраическое дополнение Тогда **присоединённой матрицей** называется: $$\widetilde{A} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2n} \\ \dots & ... & \dots & \dots \\ A_{n1} & A_{n2} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} ^{T} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix}$$

$$A\widetilde{A} = \det A \cdot E$$

Пусть $B = (b_{ij}) = A\widetilde{A}$, тогда: $$b_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\widetilde{a}_{kj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{jk} = \begin{cases} \det A, & i = j \\ 0, & i \neq j & (*)\end{cases} = \det A \cdot \delta_{ij}$$ $(*)$ - фальшивое разложение Следовательно, $B = \det A \cdot E$ $\square$

$$A^{-1} = \dfrac{\widetilde{A}}{\det A}$$

Умножим, полученное выше произведение, слева на $A^{-1}$: $$A\widetilde{A} = \det A \cdot E \implies \widetilde{A} = \det A \cdot A^{-1} \implies A^{-1} = \dfrac{\widetilde{A}}{\det A}$$ $\square$